고대수학자 - 아르키메데스

아르키메데스

 

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고대 그리스 시라쿠사 출신의 철학자, 물리학자, 수학자, 천문학자, 공학자인 아르키메데스(기원전 287년 경 ~ 기원전 212년 경) 그의 생에 대한 기록은 얼마 되지 않지만 고대의 대표적인 수학자이자 과학자로 유명합니다. 아르키메데스는 지레의 원리를 발견했고. 또 그는 해상에 있는 배를 공격하는 거울, 아르키메데스 나선 양수기 등의 기계를 만들었어요.

 

기원전 75년 아르키메데스가 사망한 지 137년이 지났을 때 키케로는 시라쿠사의 재무관으로 임명되었습니다. 키케로는 아르키메데스의 무덤 이야기를 확인하기 위해 끝에 시라쿠사 인근 관목 사이에 버려져 있던 묘비를 찾아냈습니다. 키케로는 원기둥과 구가 그려져 있다는 이야기를 바탕으로 자신이 찾은 묘가 아르키메데스의 것이라 확신하였어요.

 

원기둥과 구의 부피 관계

 

그는 구의 부피는 높이가 같은 원기둥의 부피의 3분의 2이라는 것을 증명하였습니다. 간단히 두 도형의 부피를 비교하면 반지름이, r인 구의 부피는

 

 

이고, 이때 같은 높이를 갖는 원기둥의 밑변은 반지름이 r인 원이 되고 높이는 2r이므로 원기둥의 부피는

 

 

따라서

 

이 되므로 구의 부피는 같은 높이의 원기둥의 3분의 2가 됩니다.  

 

아르키메데스는 고대 시기의 가장 뛰어난 수학자로 평가받고 있으며. 수학과 관련한 아르키메데스의 업적으로는 십진법의 도입, 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이 계산, 원주율의 계산과 같은 것들이 있습니다.

 

무리수의 계산

 

근대 적분이 없었던 당시 아르키메데스는 무한소수의 개념을 사용하였습니다. 그는 π의 근삿값을 계산할 때 소거법을 사용하였습니다. 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 방법으로, 귀류법을 사용해 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것입니다. 매우 많은 변을 갖는 다각형이 원에 내접과 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였습니다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 깁니다. 이 때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지면서 둘레에 가까워지게 됩니다. 아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 π의 값을 계산하였습니다.

또한, 아르키메데스는 원의 넓이가 πr²라는 것을 증명하였습니다.  

 

아르키메데스 성질

 

그의 저서 《구와 원기둥》에서 임의의 크기에 적당한 수들을 곱하여 어떤 크기가 정해지더라도 주어진 크기를 초과할 수 있다고 가정하였습니다.  

 

부력의 원리

 

왕은 자신의 금관에 다른 물질이 섞였다는 소문이 듣고 아르키메데스를 불러 사실을 밝혀내라고 말합니다. 금관 모양이 복잡해서 부피 재는 법을 고민하던 중 목욕탕에서 자신의 몸으로 인해 흘러넘친 물을 보고 부력의 원리를 발견하게 되었습니다. 물속에서는 자기 몸의 부피만큼 무게가 가벼워진다는 것을 알아내고 너무 기뻐 옷도 입지 않은 채 목욕탕에서 뛰어나와 "유레카"를 외쳤다는 일화는 매우 유명해요. 아르키메데스는 결국 왕의 금관이 순금으로 만들어진 게 아니라는 사실을 밝혀낸 것입니다.

 

아르키메데스의 열정

아르키메데스는 죽을 순간까지도 수학 문제에 열중해서 로마 군인이 위협해도 연구에 열중하느라 대답을 제대로 하지 않아서 목숨을 잃을 정도로 학문에 대한 열정을 보여주는 부분이기도 합니다.